Tomo II: álgebra lineal

PRIMERA EDICIÓN · SALE EN DICIEMBRE DE 2026

La segunda parte de Álgebra Para Todos: matrices y sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales, transformaciones lineales y diagonalización, todo el programa de álgebra lineal de la UTN.

Como en el Tomo I, explico los temas como me hubiera gustado que me los expliquen: de forma clara, sencilla y directa. Y trae 72 códigos QR con ejercicios que se corrigen solos, para practicar desde el celular.

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ÍNDICE

UNIDAD 1. Matrices y SEL
1.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales2
1.1.1. Ecuación lineal2
1.1.2. Sistemas de Ecuaciones Lineales4
1.1.2.1. Tipos de solución e interpretación geométrica5
1.1.2.2. Sistemas equivalentes y operaciones elementales13
1.1.3. Forma matricial de un SEL18
1.1.3.1. Método de Gauss y matriz escalonada21
1.1.3.2. Método de Gauss-Jordan y matriz escalonada reducida29
1.1.3.3. Sistemas Compatibles Indeterminados34
1.1.3.4. Sistemas homogéneos37
1.1.4. Rango de una matriz45
1.1.4.1. Teorema de Rouché-Frobenius51
1.2. Matrices y determinantes65
1.2.1. Definición formal de matriz65
1.2.2. Tipos de matrices67
1.2.3. Operaciones con matrices69
1.2.3.1. Suma de matrices69
1.2.3.2. Producto por escalar70
1.2.3.3. Matriz traspuesta71
1.2.3.4. Traza72
1.2.3.5. Producto de matrices72
1.2.3.6. Matriz inversa78
1.2.4. Propiedades de las operaciones84
1.2.5. Matrices especiales89
1.2.5.1. Matriz simétrica89
1.2.5.2. Matriz antisimétrica90
1.2.5.3. Matriz ortogonal90
1.2.5.4. Matriz idempotente91
1.2.5.5. Matriz involutiva91
1.2.5.6. Matriz nilpotente91
1.2.5.7. Matrices elementales92
1.2.5.8. Matriz de permutación95
1.2.5.9. Consideraciones sobre matrices elementales99
1.2.6. Determinantes102
1.2.6.1. Determinante de una matriz $2 \times 2$ 103
1.2.6.2. Determinante de una matriz $3 \times 3$ : la Regla de Sarrus104
1.2.6.3. Menores, cofactores y desarrollo por cofactores107
1.2.6.4. Propiedades de los determinantes114
1.2.6.5. Cálculo de determinantes usando propiedades119
1.2.6.6. Matriz adjunta e inversa vía adjunta121
1.2.6.7. Criterio de invertibilidad126
1.2.6.8. Rango por orlado: por qué funciona127
1.2.7. SEL con matrices130
1.2.8. Factorización LU134
1.2.8.1. Por qué funciona140
1.2.8.2. Pivotaje parcial145
1.2.8.3. Pivotaje maximal (o pivotaje total)152
UNIDAD 2. Subespacios vectoriales
2.1. Conjuntos y subconjuntos159
2.2. Operaciones con conjuntos162
2.2.1. Unión de conjuntos $(A \cup B)$ 162
2.2.2. Intersección de conjuntos $(A \cap B)$ 162
2.2.3. Diferencia $(A ∖ B)$ 163
2.2.4. Diferencia simétrica $(A △ B)$ 163
2.2.5. Producto cartesiano $(A \times B)$ 163
2.3. Aplicaciones165
2.4. Estructuras algebraicas167
2.4.1. LCI y LCE167
2.4.2. Grupos170
2.4.3. Cuerpos o campos173
2.5. Espacios vectoriales177
2.5.1. Espacio vectorial $V = R^{2}$ sobre $R$ 179
2.5.2. Espacio vectorial $V = M_{2 \times 2} (R)$ sobre $R$ 181
2.5.3. Espacio vectorial $V = P_{2} (R)$ sobre $R$ 184
2.6. Qué son los subespacios vectoriales186
2.7. Demostrar que un conjunto es un SEV188
2.7.1. Subconjunto de $R^{2}$ que no es SEV188
2.7.2. Subconjunto de $R^{2}$ que es SEV188
2.7.3. Subconjunto de $M_{2 \times 2} (R)$ que no es SEV190
2.7.4. Subconjunto de $M_{2 \times 2} (R)$ que es SEV191
2.7.5. Subconjunto de $P_{2} (R)$ que no es SEV193
2.7.6. Subconjunto de $P_{2} (R)$ que es SEV194
2.8. Nociones de base, conjunto generador e independencia lineal196
2.9. Independencia lineal: conjuntos LI y LD203
2.9.1. Definición de conjunto LI203
2.9.2. Subconjuntos LI dentro de conjuntos LD206
2.9.3. Definición alternativa de independencia lineal208
2.10. Conjunto generador de un espacio vectorial210
2.11. Base de un espacio vectorial y coordenadas de un vector en una base214
2.11.1. Cálculo de coordenadas de un vector en una base dada: $R^{3}$ 217
2.11.2. Cálculo de coordenadas de un vector en una base dada: $M_{2 \times 2} (R)$ 220
2.11.3. Cálculo de coordenadas de un vector en una base dada: $P_{2} (R)$ 222
2.11.4. Vectores en bases diferentes224
2.12. Cambio de base227
2.12.1. Matriz de cambio de base en $R^{3}$ por definición230
2.12.2. Matriz de cambio de base en $M_{2 \times 2}$ por definición233
2.12.3. Matriz de cambio de base en $P_{2} (R)$ por definición236
2.12.4. Matriz de cambio de base en $R^{3}$ a partir de productos e inversas de matrices239
2.12.5. Matriz de cambio de base en $M_{2 \times 2} (R)$ a partir de productos e inversas de matrices244
2.12.6. Matriz de cambio de base en $P_{2} (R)$ a partir de productos e inversas de matrices247
2.13. Base de un SEV250
2.13.1. Base de un SEV de $R^{3}$ 250
2.13.2. Ecuaciones implícitas LD253
2.13.3. Bases diferentes para un mismo SEV254
2.13.4. Base de un SEV de matrices256
2.13.5. Base de un SEV de polinomios258
2.14. Ecuaciones implícitas de un SEV a partir de un conjunto generador259
2.14.1. Ecuaciones a partir de CG en $R^{3}$ 259
2.14.2. Ecuaciones a partir de CG en $M_{2 \times 2} (R)$ 264
2.14.3. Ecuaciones a partir de CG en $P_{2} (R)$ 268
2.15. Cambio de base en un SEV272
2.15.1. Cambio de base en un SEV de $R^{3}$ 272
2.15.2. Cambio de base en un SEV de $M_{2 \times 2} (R)$ 278
2.15.3. Cambio de base en un SEV de $P_{2} (R)$ 281
2.16. Operaciones entre SEV285
2.16.1. Intersección de SEV usando ecuaciones implícitas285
2.16.2. Intersección de SEV usando bases290
2.16.3. Unión de SEV293
2.16.4. Suma de SEV usando bases294
2.16.5. Complemento ortogonal de un SEV298
2.17. Proyección ortogonal de vectores sobre un SEV301
2.17.1. Proyección ortogonal en $R^{2}$ 301
2.17.2. Proyección ortogonal en $R^{3}$ 305
2.17.3. Proyección ortogonal en $M_{2 \times 2} (R)$ 311
2.17.4. Proyección ortogonal en $P_{2} (R)$ 314
2.17.5. Distancia de un vector a un SEV317
2.18. Bases ortogonales y ortonormales320
2.18.1. Método de Gram-Schmidt en $R^{3}$ 323
2.18.2. Método de Gram-Schmidt en $R^{5}$ 327
2.18.3. Método de Gram-Schmidt en $M_{2 \times 2} (R)$ 334
2.18.4. Método de Gram-Schmidt en $P_{3} (R)$ 336
UNIDAD 3. Transformaciones lineales
3.1. Qué es una transformación lineal339
3.2. Demostrar que una transformación es lineal347
3.3. Teorema fundamental de las transformaciones lineales351
3.3.1. Existencia de una única TL352
3.3.2. Existencia de infinitas TL356
3.3.3. No existencia de TL357
3.4. Matriz asociada a una TL359
3.4.1. Cambio de base en una matriz asociada a una TL372
3.5. Subespacios fundamentales383
3.5.1. Imagen de una TL385
3.5.1.1. Expresión analítica de la imagen de una TL385
3.5.1.2. Imagen de una TL como $Col (A)$ 391
3.5.2. Núcleo de una TL397
3.5.3. Teorema de la dimensión401
3.6. Composición de TL404
3.7. Clasificación de las TL411
3.7.1. Transformaciones lineales invertibles417
3.7.2. El determinante y la deformación de área421
3.8. Transformaciones Lineales Geométricas424
3.8.1. TL geométricas en $R^{2}$ 424
3.8.1.1. Rotación en $R^{2}$ 424
3.8.1.2. Reflexión en $R^{2}$ 427
3.8.1.3. Proyección ortogonal en $R^{2}$ 432
3.8.2. TL geométricas en $R^{3}$ 436
3.8.2.1. Rotación en $R^{3}$ 436
3.8.2.2. Reflexión en $R^{3}$ : respecto a un plano441
3.8.2.3. Proyección ortogonal sobre plano445
3.8.2.4. Matrices de proyección y reflexión a partir del vector normal449
3.8.3. Transformaciones lineales geométricas adicionales455
3.8.3.1. Escalado en $R^{2}$ 455
3.8.3.2. Cizallamiento en $R^{2}$ 457
3.8.3.3. Proyección sobre una recta en $R^{3}$ 459
3.8.3.4. Reflexión respecto de una recta en $R^{3}$ 460
3.8.4. Composición de TL geométricas461
UNIDAD 4. Diagonalización
4.1. Autovalores y autovectores465
4.1.1. Motivación465
4.1.2. Definición formal y polinomio característico467
4.1.3. Cálculo de autovectores470
4.2. Diagonalización de matrices474
4.2.1. Semejanza e invariantes476
4.2.2. Diagonalización479
4.2.3. Procedimiento de diagonalización486
4.3. Diagonalización ortogonal y el teorema espectral497
4.4. El teorema de Cayley-Hamilton502
4.5. Aplicaciones de la diagonalización507
4.5.1. Potencias de una matriz507
4.5.2. Cadenas de Markov508
4.5.3. El índice de una matriz nilpotente511