Tomo I: geometría analítica

ÍNDICE

• UNIDAD 1. Vectores
• 1.1. Sistemas de referencia en el plano1
• 1.1.1. Sistema de referencia rectangular1
• 1.1.2. Sistema de referencia oblicuo3
• 1.1.3. Sistema de referencia polar4
• 1.1.4. Coordenadas rectangulares a polares y viceversa6
• 1.2. Vectores11
• 1.2.1. Norma de un vector17
• 1.2.2. Norma de un vector en el plano17
• 1.2.3. Norma de un vector en el espacio18
• 1.3. Operaciones con vectores21
• 1.3.1. Suma de punto y vector21
• 1.3.2. Suma entre vectores21
• 1.3.3. Producto entre vector y escalar24
• 1.3.4. Producto entre vectores27
• 1.3.4.1. Producto escalar27
• 1.3.4.2. Producto vectorial36
• 1.3.4.3. Producto mixto48
• 1.4. Ejercicios resueltos54
• UNIDAD 2. Recta y plano
• 2.1. Ecuaciones de la recta en el plano83
• 2.1.1. Ecuación paramétrica vectorial83
• 2.1.2. Ecuación explícita88
• 2.1.3. Ecuación paramétrica cartesiana92
• 2.1.4. Ecuación simétrica93
• 2.1.5. Ecuación implícita94
• 2.1.6. Ecuación segmentaria98
• 2.2. Ecuaciones de la recta en el espacio101
• 2.3. Cómo graficar rectas102
• 2.3.1. Rectas en el plano102
• 2.3.2. Rectas en el espacio103
• 2.4. Ecuaciones del plano104
• 2.4.1. Ecuación general de un plano104
• 2.4.2. Ecuación paramétrica del plano109
• 2.4.3. Ecuación segmentaria del plano116
• 2.5. Configuración espacial119
• 2.5.1. Rectas paralelas120
• 2.5.2. Rectas secantes122
• 2.5.3. Rectas alabeadas123
• 2.5.4. Planos paralelos125
• 2.5.5. Planos secantes126
• 2.5.6. Recta paralela a plano128
• 2.5.7. Recta y plano secantes129
• 2.6. Intersecciones131
• 2.6.1. Intersección entre rectas131
• 2.6.2. Intersección entre recta y plano133
• 2.6.3. Intersección entre planos136
• 2.7. Proyecciones139
• 2.7.1. Proyección de un punto sobre una recta en el plano139
• 2.7.1.1. Proyección de un punto sobre una recta en el plano: vectorial139
• 2.7.1.2. Proyección de punto sobre recta en el plano: geometría140
• 2.7.2. Proyección de punto sobre recta en el espacio142
• 2.7.2.1. Proyección de punto sobre recta en el espacio: vectorial142
• 2.7.2.2. Proyección de punto sobre recta en el espacio: geometría143
• 2.7.3. Proyección de punto sobre plano145
• 2.7.3.1. Proyección de punto sobre plano: vectorial145
• 2.7.3.2. Proyección de punto sobre plano: geometría147
• 2.7.4. Proyección de recta sobre plano148
• 2.7.4.1. Planos proyectantes de una recta152
• 2.8. Distancias158
• 2.8.1. Distancia de punto a recta159
• 2.8.1.1. Distancia de punto a recta en el plano159
• 2.8.1.2. Distancia de punto a recta en el espacio161
• 2.8.2. Distancia de punto a plano162
• 2.8.3. Distancia entre rectas paralelas163
• 2.8.4. Distancia de recta a plano164
• 2.8.5. Distancia entre rectas alabeadas164
• 2.8.6. Distancia entre planos paralelos167
• 2.9. Simetría168
• 2.9.1. Simetría de punto respecto a recta168
• 2.9.2. Simetría de punto respecto a plano169
• 2.9.3. Simetría de recta respecto a plano169
• 2.10. Familia de rectas y planos171
• 2.10.1. Familia de rectas concurrentes171
• 2.10.1.1. Familia de rectas concurrentes en el plano171
• 2.10.1.2. Familia de rectas concurrentes en el espacio175
• 2.10.2. Familia de rectas paralelas177
• 2.10.2.1. Familia de rectas paralelas en el plano177
• 2.11. Haz de planos179
• 2.11.1. Haz de planos concurrentes179
• 2.11.2. Haz de planos paralelos182
• 2.12. Ejercicios resueltos de recta y plano184
• UNIDAD 3. Cónicas
• 3.1. Lugar geométrico201
• 3.2. Secciones cónicas204
• 3.3. Circunferencia208
• 3.3.1. Circunferencia definida por tres puntos209
• 3.3.1.1. Circunferencia definida por tres puntos: SE210
• 3.3.1.2. Circunferencia definida por tres puntos: circuncentro210
• 3.3.2. Gráfica de una circunferencia214
• 3.3.3. Familia de circunferencias216
• 3.3.3.1. Familia de circunferencias concéntricas216
• 3.3.3.2. Familia de circunferencias concurrentes217
• 3.3.4. Parametrización de una circunferencia225
• 3.4. Elipse232
• 3.4.1. Gráfica de una elipse245
• 3.4.2. Parametrización de la elipse248
• 3.5. Parábola251
• 3.5.1. Gráfica de una parábola257
• 3.5.2. Parametrización de la parábola259
• 3.6. Hipérbola262
• 3.6.1. Gráfica de una hipérbola270
• 3.6.2. Parametrización de la hipérbola272
• 3.7. Ecuación general de segundo grado276
• 3.7.1. Ecuación general de segundo grado incompleta277
• 3.7.1.1. Ecuación de segundo grado incompleta y elipse279
• 3.7.1.2. Ecuación de segundo grado incompleta e hipérbola282
• 3.7.1.3. Ecuación de segundo grado incompleta y parábola285
• 3.7.2. Ecuación general de segundo grado completa288
• 3.7.2.1. Rotación de cónicas289
• 3.8. Ejercicios resueltos de cónicas308
• UNIDAD 4. Superficies cuádricas
• 4.1. El origen del nombre “cuádricas”335
• 4.2. Superficies de revolución337
• 4.2.1. Cómo efectuar la rotación de una curva plana338
• 4.2.2. Rotación de cónicas y sus degeneraciones342
• 4.2.2.1. Rotación de la circunferencia343
• 4.2.2.2. Rotación de la elipse344
• 4.2.2.3. Rotación de la parábola345
• 4.2.2.4. Rotación de par de rectas347
• 4.2.2.5. Rotación de la hipérbola350
• 4.2.2.6. Rotación de un par de rectas secantes354
• 4.3. Superficies cilíndricas357
• 4.3.1. Cilindro circular recto357
• 4.3.2. Cilindro elíptico recto358
• 4.3.3. Cilindro parabólico recto359
• 4.3.4. Cilindro hiperbólico recto360
• 4.3.5. Plano360
• 4.3.6. Cilindros oblicuos362
• 4.4. Paraboloide hiperbólico o “silla de montar”364
• 4.5. Mapas conceptuales366
• 4.6. Ecuación de segundo grado371
• 4.6.1. Ecuación de segundo grado incompleta371
• 4.6.2. Trazas de una superficie374
• 4.6.2.1. Identificar superficies de revolución374
• 4.6.2.2. Identificar cualquier superficie cuádrica mediante trazas381
• 4.6.3. Ecuación de segundo grado completa391
• 4.7. Ejercicios resueltos de superficies cuádricas409
• Apéndice
• A. Simetría436
• A.1. Simetría de cónicas436
• A.2. Simetría de superficies cuádricas438
• B. Transformación de coordenadas442
• B.1. Traslación442
• B.2. Dilatación y contracción445
• C. Reflexión452
• Notas Finales para el Estudiante455