Tomo I: geometría analítica

1.1. Sistemas de referencia en el plano — 1
  1.1.1. Sistema de referencia rectangular — 1
  1.1.2. Sistema de referencia oblicuo — 3
  1.1.3. Sistema de referencia polar — 4
  1.1.4. Coordenadas rectangulares a polares y viceversa — 6

1.2. Vectores — 11
  1.2.1. Norma de un vector — 17
  1.2.2. Norma de un vector en el plano — 17
  1.2.3. Norma de un vector en el espacio — 18

1.3. Operaciones con vectores — 21
  1.3.1. Suma de punto y vector — 21
  1.3.2. Suma entre vectores — 21
  1.3.3. Producto entre vector y escalar — 24
  1.3.4. Producto entre vectores — 27
    1.3.4.1. Producto escalar — 27
    1.3.4.2. Producto vectorial — 36
    1.3.4.3. Producto mixto — 48

1.4. Ejercicios resueltos — 54

2.1. Ecuaciones de la recta en el plano — 83
  2.1.1. Ecuación paramétrica vectorial — 83
  2.1.2. Ecuación explícita — 88
  2.1.3. Ecuación paramétrica cartesiana — 92
  2.1.4. Ecuación simétrica — 93
  2.1.5. Ecuación implícita — 94
  2.1.6. Ecuación segmentaria — 98

2.2. Ecuaciones de la recta en el espacio — 101

2.3. Cómo graficar rectas — 102
  2.3.1. Rectas en el plano — 102
  2.3.2. Rectas en el espacio — 103

2.4. Ecuaciones del plano — 104
  2.4.1. Ecuación general de un plano — 104
  2.4.2. Ecuación paramétrica del plano — 109
  2.4.3. Ecuación segmentaria del plano — 116

2.5. Configuración espacial — 119
  2.5.1. Rectas paralelas — 120
  2.5.2. Rectas secantes — 122
  2.5.3. Rectas alabeadas — 123
  2.5.4. Planos paralelos — 125
  2.5.5. Planos secantes — 126
  2.5.6. Recta paralela a plano — 128
  2.5.7. Recta y plano secantes — 129

2.6. Intersecciones — 131
  2.6.1. Intersección entre rectas — 131
  2.6.2. Intersección entre recta y plano — 133
  2.6.3. Intersección entre planos — 136

2.7. Proyecciones — 139
  2.7.1. Proyección de un punto sobre una recta en el plano — 139
    2.7.1.1. Proyección de un punto sobre una recta en el plano: vectorial — 139
    2.7.1.2. Proyección de punto sobre recta en el plano: geometría — 140
  2.7.2. Proyección de punto sobre recta en el espacio — 142
    2.7.2.1. Proyección de punto sobre recta en el espacio: vectorial — 142
    2.7.2.2. Proyección de punto sobre recta en el espacio: geometría — 143
  2.7.3. Proyección de punto sobre plano — 145
    2.7.3.1. Proyección de punto sobre plano: vectorial — 145
    2.7.3.2. Proyección de punto sobre plano: geometría — 147
  2.7.4. Proyección de recta sobre plano — 148
    2.7.4.1. Planos proyectantes de una recta — 152

2.8. Distancias — 158
  2.8.1. Distancia de punto a recta — 159
    2.8.1.1. Distancia de punto a recta en el plano — 159
    2.8.1.2. Distancia de punto a recta en el espacio — 161
  2.8.2. Distancia de punto a plano — 162
  2.8.3. Distancia entre rectas paralelas — 163
  2.8.4. Distancia de recta a plano — 164
  2.8.5. Distancia entre rectas alabeadas — 164
  2.8.6. Distancia entre planos paralelos — 167

2.9. Simetría — 168
  2.9.1. Simetría de punto respecto a recta — 168
  2.9.2. Simetría de punto respecto a plano — 169
  2.9.3. Simetría de recta respecto a plano — 169

2.10. Familia de rectas y planos — 171
  2.10.1. Familia de rectas concurrentes — 171
    2.10.1.1. Familia de rectas concurrentes en el plano — 171
    2.10.1.2. Familia de rectas concurrentes en el espacio — 175
  2.10.2. Familia de rectas paralelas — 177
    2.10.2.1. Familia de rectas paralelas en el plano — 177

2.11. Haz de planos — 179
  2.11.1. Haz de planos concurrentes — 179
  2.11.2. Haz de planos paralelos — 182

2.12. Ejercicios resueltos de recta y plano — 184

3.1. Lugar geométrico — 201
3.2. Secciones cónicas — 204

3.3. Circunferencia — 208
  3.3.1. Circunferencia definida por tres puntos — 209
    3.3.1.1. Circunferencia definida por tres puntos: SE — 210
    3.3.1.2. Circunferencia definida por tres puntos: circuncentro — 210
  3.3.2. Gráfica de una circunferencia — 214
  3.3.3. Familia de circunferencias — 216
    3.3.3.1. Familia de circunferencias concéntricas — 216
    3.3.3.2. Familia de circunferencias concurrentes — 217
  3.3.4. Parametrización de una circunferencia — 225

3.4. Elipse — 232
  3.4.1. Gráfica de una elipse — 245
  3.4.2. Parametrización de la elipse — 248

3.5. Parábola — 251
  3.5.1. Gráfica de una parábola — 257
  3.5.2. Parametrización de la parábola — 259

3.6. Hipérbola — 262
  3.6.1. Gráfica de una hipérbola — 270
  3.6.2. Parametrización de la hipérbola — 272

3.7. Ecuación general de segundo grado — 276
  3.7.1. Ecuación general de segundo grado incompleta — 277
    3.7.1.1. Ecuación de segundo grado incompleta y elipse — 279
    3.7.1.2. Ecuación de segundo grado incompleta e hipérbola — 282
    3.7.1.3. Ecuación de segundo grado incompleta y parábola — 285
  3.7.2. Ecuación general de segundo grado completa — 288
    3.7.2.1. Rotación de cónicas — 289

3.8. Ejercicios resueltos de cónicas — 308

4.1. El origen del nombre “cuádricas” — 335

4.2. Superficies de revolución — 337
  4.2.1. Cómo efectuar la rotación de una curva plana — 338
  4.2.2. Rotación de cónicas y sus degeneraciones — 342
    4.2.2.1. Rotación de la circunferencia — 343
    4.2.2.2. Rotación de la elipse — 344
    4.2.2.3. Rotación de la parábola — 345
    4.2.2.4. Rotación de par de rectas — 347
    4.2.2.5. Rotación de la hipérbola — 350
    4.2.2.6. Rotación de un par de rectas secantes — 354

4.3. Superficies cilíndricas — 357
  4.3.1. Cilindro circular recto — 357
  4.3.2. Cilindro elíptico recto — 358
  4.3.3. Cilindro parabólico recto — 359
  4.3.4. Cilindro hiperbólico recto — 360
  4.3.5. Plano — 360
  4.3.6. Cilindros oblicuos — 362

4.4. Paraboloide hiperbólico o “silla de montar” — 364
4.5. Mapas conceptuales — 366

4.6. Ecuación de segundo grado — 371
  4.6.1. Ecuación de segundo grado incompleta — 371
  4.6.2. Trazas de una superficie — 374
    4.6.2.1. Identificar superficies de revolución — 374
    4.6.2.2. Identificar cualquier superficie cuádrica mediante trazas — 381
  4.6.3. Ecuación de segundo grado completa — 391

4.7. Ejercicios resueltos de superficies cuádricas — 409

A. Simetría — 436
  A.1. Simetría de cónicas — 436
  A.2. Simetría de superficies cuádricas — 438

B. Transformación de coordenadas — 442
  B.1. Traslación — 442
  B.2. Dilatación y contracción — 445

C. Reflexión — 452

Notas Finales para el Estudiante — 455